试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,同时考查分析问题解决问题的综合解题能力和计算能力.第一问, 对求导,由于单调递增,单调递减,判断出函数的单调性,求出函数的最大值;第二问,对求导,设分子为再求导,判断的单调性,再根据零点的定义判断在上有零点,结合第一问的结论,得出所证结论. 试题解析: (1). 当时,,单调递增; 当时,,单调递减. 所以的最大值为. 4分 (2),. 设,则. 当时,,单调递减; 当时,,单调递增; 当时,,单调递减. 7分 又,,, 所以在有一零点. 当时,,单调递增; 当时,,单调递减. 10分 由(1)知,当时,;当时,. 因此有最大值,且. 12分 |