解:(1)由题可知f′=1,解得a=1, 故f(x)=x--3ln x,∴f′(x)=, 由f′(x)=0得x=2或x=1. 于是可得x∈的下表:
|
| 2
| (2,3]
| f′(x)
| -
| 0
| +
| f(x)
| ↘
| 1-3ln 2
| ↗
| 于是可得f(x)min="f(2)=1-3ln" 2. (2)∵f′(x)=a+-= (x>0), 由题可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1、x2, 则 解得0<a<. (3)由(1)f(x)=x--3ln x, 故F(x)=x3-3x2-2x(x>0),F′(x)=3x2-6x-2(x>0). 设切点为T(x0,y0),由于点P在函数F(x)的图象上, ①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x0≠1时,由于切线过点P(1,-4),则=3-6x0-2, 所以-3-2x0+4=(x0-1)(3-6x0-2), 化简得-3+3x0-1=0,即(x0-1)3=0, 解得x0=1(舍去). ②当切点T与点P(1,-4)重合,即x0=1时, 则切线的斜率k=F′(1)=-5, 于是切线方程为5x+y-1=0. 综上所述,满足条件的切线只有一条, 其方程为5x+y-1=0. |