已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与

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已知函数f(x)=x³+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.

答案

(1) y=13x-32   (2) 切点坐标为(1,-14)或(-1,-18)  y=4x-18或y=4x-14

解析

(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
∵f"(x)=(x³+x-16)"=3x²+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f"(2)=13,
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x₀,y₀),则f"(x₀)=3+1=4,
∴x₀=±1,
∴或
∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.