已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　)①f(x)

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已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x₀，使得f(x₀)＝f′(x₀)，则称x₀是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　)
①f(x)＝x²；②f(x)＝e^－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x；⑤f(x)＝

A．①③⑤

B．③④

C．②③④

D．②⑤

答案

解析

①即x²＝2x，这个方程显然有解，故①符合要求；②即e^－x＝－e^－x，此方程无解，②不符合要求；③即ln x＝

，数形结合可知这个方程也存在实数解，符合要求；④中，f′(x)＝

，若f(x)＝f′(x)，即

＝tan x，化简得sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，方程无解，④不符合要求；⑤中，f′(x)＝－

，－

＝

，可得x＝－1为该方程的解，故⑤符合要求．

举一反三

已知函数f(x)＝

x³＋ax²＋bx(a，b∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(1)＝

，且函数f(x)在

上不存在极值点，求a的取值范围．

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已知a>0，函数f(x)＝ax²－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a＝

时，证明：方程f(x)＝f

在区间(2，＋∞)上有唯一解．

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已知函数f(x)＝

＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当a>0时，对于任意x₁，x₂∈

，总有g(x₁)<f(x₂)成立．

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已知函数f(x)＝

x³＋

ax²＋bx.
(1)若a＝2b，试问函数f(x)能否在x＝－1处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由．
(2)若函数f(x)在区间(－1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求w＝a－4b的取值范围．

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设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x²，下面不等式在R上恒成立的是(　　)

A．f(x)>0	B．f(x)<0
C．f(x)>x	D．f(x)<x

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