已知函数在处存在极值.(1)求实数的值;(2)函数的图像上存在两点A,B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在轴上,求实数的取值范围;(3
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已知函数在处存在极值.(1)求实数的值;(2)函数的图像上存在两点A,B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在轴上,求实数的取值范围;(3
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
在
处存在极值.
(1)求实数
的值;
(2)函数
的图像上存在两点A,B使得
是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在
轴上,求实数
的取值范围;
(3)当
时,讨论关于
的方程
的实根个数.
答案
(1)
.(2)
的取值范围是
.(3)①当
或
时,方程
有两个实根;②当
时,方程
有三个实根;③当
时,方程
有四个实根.
解析
试题分析:(1)求导得
,将
代入解方程组即得
.(2) 由(1)得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设
.接下来根据
大于等于1和小于1分别求解.(3)由方程
知
,显然0一定是方程的根,所以仅就
时进行研究,这时方程等价于
,构造函数
,利用导数作出
的图象即可得方程的要的个数.
试题解析:(1)当
时,
. 1分
因为函数
在
处存在极值,所以
解得
. 4分
(2) 由(I)得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设
.
若
,则
,
由
是直角得,
,即
,
即
.此时无解; 6分
若
,则
. 由于AB的中点在
轴上,且
是直角,所以B点不可能在
轴上,即
. 同理有
,即
,
.
因为函数
在
上的值域是
,
所以实数
的取值范围是
. 8分
(3)由方程
,知
,可知0一定是方程的根, 10分
所以仅就
时进行研究:方程等价于
构造函数
对于
部分,函数
的图像是开口向下的抛物线的一部分,
当
时取得最大值
,其值域是
;
对于
部分,函数
,由
,
知函数
在
上单调递增.
所以,①当
或
时,方程
有两个实根;
②当
时,方程
有三个实根;
③当
时,方程
有四个实根. 14分
举一反三
已知函数
的图像在点
处的切线斜率为10.
(1)求实数
的值;
(2)判断方程
根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(1)若函数
存在极大值和极小值,求
的取值范围;
(2)设
分别为
的极大值和极小值,其中
且
求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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定义在R上的函数
满足:
恒成立,若
,则
与
的大小关系为 ( )
A.
B.
C.
D.
与
的大小关系不确定
题型:不详
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已知函数
有两个极值点,则实数
的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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若
f
(
x
)=-
x
2
+
b
ln (
x
+2)在(-1,+∞)上是减函数,则
b
的取值范围是________.
题型:不详
难度:
|
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