已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex且f(0)=1,f(1)=0.(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,是否存
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已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex且f(0)=1,f(1)=0. (1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围; (2)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由. |
答案
(1)[0,1](2)存在m=4, |
解析
∵f(0)=1,∴f(0)=c·e0=c=1, 又f(1)=(a+b+1)·e1=0,∴a+b+1=0, ∴b=-1-a,∴f(x)=[ax2-(1+a)x+1]·ex. ∴f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex. (1)∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,∴对任意x∈[0,1],有f′(x)≤0,即对任意x∈[0,1],有ax2+(a-1)x-a≤0,令g(x)=ax2+(a-1)x-a.当a>0时,因为二次函数g(x)=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而g(0)=-a<0,所以需g(1)=a-1≤0,即0<a≤1,当a=0时,对任意x∈[0,1],g(x)=-x≤0成立,符合条件,当a<0时,因为g(0)=-a>0,不符合条件. 故a的取值范围是[0,1]. (2)当a=0时,f(x)=(1-x)ex,假设存在实数m,使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立. 由mx+1≥-x2+4x+1,得x2+(m-4)x≥0对x∈R恒成立. ∴Δ=(m-4)2≤0,∴m=4. 下面证明:当m=4时,2f(x)+4xex≥mx+1对x∈R恒成立. 即(2x+2)ex-4x-1≥0,对x∈R恒成立. 令g(x)=(2x+2)ex-4x-1,g′(x)=(2x+4)ex-4 ∵g′(0)=0. 当x>0时,(2x+4)>4,ex>1,∴(2x+4)ex>4,g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增. 当x<0时,(2x+4)<4,0<ex<1, ∴(2x+4)ex<4ex<4,g′(x)<0, ∴g(x)在(-∞,0)上单调递减. ∴g(x)min=g(0)=2-1=1>0, ∴g(x)>0,即(2x+2)ex>4x+1对x∈R恒成立, ∴存在m=4,使2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立 |
举一反三
已知函数f(x)=. (1)函数f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值; (2)当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围. |
已知函数在处存在极值. (1)求实数的值; (2)函数的图像上存在两点A,B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在轴上,求实数的取值范围; (3)当时,讨论关于的方程的实根个数. |
已知函数的图像在点处的切线斜率为10. (1)求实数的值; (2)判断方程根的个数,并证明你的结论; (21)探究: 是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由. |
已知函数 (1)若函数存在极大值和极小值,求的取值范围; (2)设分别为的极大值和极小值,其中且求的取值范围. |
定义在R上的函数满足:恒成立,若,则与的大小关系为 ( ) |
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