如图，椭圆C：的一个焦点为F(1，0)，且过点(2，0)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若垂直于x轴的动直线与椭圆交于A，B两点，直线l：x=4与x轴交于点N，直

题型：天津模拟题难度：来源：

如图，椭圆C：的一个焦点为F(1，0)，且过点(2，0)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若垂直于x轴的动直线与椭圆交于A，B两点，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

答案

解：(Ⅰ)由题设，a=2，c=1，从而，
所以，椭圆C的方程为。
 (Ⅱ)(ⅰ)由题意，得，
设，则，①
AF与BN的方程分别为
，②
设，则有
由③④，得，
由于，
所以，点M恒在椭圆C上。
(ⅱ)设AM的方程为x=ty+1，代入得，
设，则有，
，
令，则
，
因为，所以当，
即λ=4，t=0时，有最大值3，
此时，△AMN的面积。