已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)

题型：不详难度：来源：

已知向量m＝(e^x，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xe^xf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)＝－x²＋2ax(a为正实数)，若对于任意x₂∈[0,1]，总存在x₁∈(0，＋∞)，使得g(x₂)<F(x₁)，求实数a的取值范围．

答案

（1）k＝1，F(x)的增区间为，减区间为.（2）

解析

(1)由已知，得f(x)＝，∴f′(x)＝，由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1，∴F(x)＝xe^xf′(x)＝x＝1－xln x－x，所以F′(x)＝－ln x－2，由F′(x)＝－ln x－2≥0⇒0<x≤，由F′(x)＝－ln x－2≤0⇒x≥∴F(x)的增区间为，减区间为.
(2)∵对于任意x₂∈[0,1]，总存在x₁∈(0，＋∞)，
使得g(x₂)<F(x₁)，∴g(x)_max<F(x)_max .
由(1)知，当x＝时，F(x)取得最大值F＝1＋.
对于g(x)＝－x²＋2ax，其对称轴为x＝a，
当0<a≤1时，g(x)_max＝g(a)＝a²，∴a²<1＋，从而0<a≤1，当a>1时，g(x)_max＝g(1)＝2a－1，∴2a－1<1＋，从而1<a<1＋.
综上可知：实数a的取值范围是.