已知向量m=(ex,ln x+k),n=(1,f(x)],m∥n(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf′(x)

已知向量m=(ex,ln x+k),n=(1,f(x)],m∥n(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf′(x)

题型:不详难度:来源:
已知向量m=(ex,ln xk),n=(1,f(x)],mn(k为常数),曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf′(x).
(1)求k的值及F(x)的单调区间;
(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.
答案
(1)k=1,F(x)的增区间为,减区间为.(2)
解析
(1)由已知,得f(x)=,∴f′(x)=,由已知,f′(1)==0,∴k=1,∴F(x)=xexf′(x)=x=1-xln xx,所以F′(x)=-ln x-2,由F′(x)=-ln x-2≥0⇒0<x,由F′(x)=-ln x-2≤0⇒xF(x)的增区间为,减区间为.
(2)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),
使得g(x2)<F(x1),∴g(x)max<F(x)max .
由(1)知,当x时,F(x)取得最大值F=1+.
对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为xa
当0<a≤1时,g(x)maxg(a)=a2,∴a2<1+,从而0<a≤1,当a>1时,g(x)maxg(1)=2a-1,∴2a-1<1+,从而1<a<1+.
综上可知:实数a的取值范围是.
举一反三
已知函数f(x)=aln xax-3(a∈R).
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数yf(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3x2 (f′(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证:×…×< (n≥2,n∈N*)
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设函数f(x)=(x+1)ln x-2x.
(1)求函数的单调区间;
(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
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已知函数f(x)=exkx2x∈R.
(1)若k,求证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>1;
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值范围;
(3)求证:<e4(n∈N*)..
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已知函数f(x)=(ax2bxc)exf(0)=1,f(1)=0.
(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xexmx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=.
(1)函数f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2xy-1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
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