已知函数f(x)=ex-kx2,x∈R.(1)若k=,求证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>1;(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值
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已知函数f(x)=ex-kx2,x∈R.(1)若k=,求证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>1;(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f
(
x
)=e
x
-
kx
2
,
x
∈R.
(1)若
k
=
,求证:当
x
∈(0,+∞)时,
f
(
x
)>1;
(2)若
f
(
x
)在区间(0,+∞)上单调递增,试求
k
的取值范围;
(3)求证:
<e
4
(
n
∈N
*
)..
答案
(1)见解析(2)
(3)见解析
解析
(1)证明
f
(
x
)=e
x
-
x
2
,则
h
(
x
)=
f
′(
x
)=e
x
-
x
,
∴
h
′(
x
)=e
x
-1>0(
x
>0),∴
h
(
x
)=
f
′(
x
)在(0,+∞)上单调递增,∴
f
′(
x
)>
f
′(0)=1>0.∴
f
(
x
)=e
x
-
x
2
在(0,+∞)上单调递增,故
f
(
x
)>
f
(0)=1.
(2)解
f
′(
x
)=e
x
-2
kx
,求使
f
′(
x
)>0(
x
>0)恒成立的
k
的取值范围.
若
k
≤0,显然
f
′(
x
)>0,
f
(
x
)在区间(0,+∞)上单调递增,当
k
>0时,记
φ
(
x
)=e
x
-2
kx
,则
φ
′(
x
)=e
x
-2
k
,当0<
k
<
时,∵e
x
>e
0
=1,而2
k
<1,∴
φ
′(
x
)>0,则
φ
(
x
)在(0,+∞)上单调递增,于是
f
′(
x
)=
φ
(
x
)>
φ
(0)=1>0,∴
f
(
x
)在(0,+∞)单调递增;当
k
≥
时,
φ
(
x
)=e
x
-2
kx
在(0,ln 2
k
)上单调递减,在(ln 2
k
,+∞)上单调递增,于是
f
′(
x
)=
φ
(
x
)=
φ
(ln 2
k
)=e
ln 2
k
-2
k
ln 2
k
,由e
ln 2
k
-2
k
ln 2
k
≥0得2
k
-2
k
ln 2
k
≥0,则
≤
k
≤
.综上,
k
的取值范围是
.
(3)证明 由(1)知,对于
x
∈(0,+∞),有
f
(
x
)=e
x
-
x
2
>1,∴e
2
x
>2
x
2
+1,则ln (2
x
2
+1)<2
x
,
从而有ln
<
(
n
∈N
*
),
于是ln
+ln
+ln
+…+ln
<
+
+…+
<
+
+
+…+
=2+
=4-
<4,故
·
·…·
<e
4
(
n
∈N
*
)
举一反三
已知函数
f
(
x
)=(
ax
2
+
bx
+
c
)e
x
且
f
(0)=1,
f
(1)=0.
(1)若
f
(
x
)在区间[0,1]上单调递减,求实数
a
的取值范围;
(2)当
a
=0时,是否存在实数
m
使不等式2
f
(
x
)+4
x
e
x
≥
mx
+1≥-
x
2
+4
x
+1对任意
x
∈R恒成立?若存在,求出
m
的值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=
.
(1)函数
f
(
x
)在点(0,
f
(0))的切线与直线2
x
+
y
-1=0平行,求
a
的值;
(2)当
x
∈[0,2]时,
f
(
x
)≥
恒成立,求
a
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
在
处存在极值.
(1)求实数
的值;
(2)函数
的图像上存在两点A,B使得
是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在
轴上,求实数
的取值范围;
(3)当
时,讨论关于
的方程
的实根个数.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
的图像在点
处的切线斜率为10.
(1)求实数
的值;
(2)判断方程
根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
(1)若函数
存在极大值和极小值,求
的取值范围;
(2)设
分别为
的极大值和极小值,其中
且
求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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