(1)解 当a=-1时,f′(x)= (x>0) 令f′(x)>0,得x∈(1,+∞); 令f′(x)<0,得x∈(0,1). ∴函数f(x)的单调增区间为(1,+∞),减区间为(0,1). (2)解 ∵f′(x)= (x>0),∴f′(2)=-=1得a=-2,∴f(x)=-2ln x+2x-3,g(x)=x3+x2-2x,∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2,∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2,∴ 由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′t<0恒成立, 所以,∴-<m<-9. 故m的取值范围是. (3)证明 由(1)知当x∈(1,+∞)时f(x)>f(1),即-ln x+x-1>0,∴0<ln x<x-1对一切x∈(1,+∞)成立. ∵n≥2,n∈N*,则有0<ln n<n-1,∴0<. ∴ (n≥2,n∈N*). |