设函数f(x)=(x+1)ln x-2x.(1)求函数的单调区间;(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
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设函数f(x)=(x+1)ln x-2x.(1)求函数的单调区间;(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
题型:不详
难度:
来源:
设函数
f
(
x
)=(
x
+1)ln
x
-2
x
.
(1)求函数的单调区间;
(2)设
h
(
x
)=
f
′(
x
)+
,若
h
(
x
)>
k
(
k
∈Z)恒成立,求
k
的最大值.
答案
(1)在(0,+∞)上单调递增.(2)0
解析
(1)函数的定义域为(0,+∞).
f
′(
x
)=ln
x
+
-1,不妨令
g
(
x
)=ln
x
+
-1,
g
′(
x
)=
-
=
,
当
x
>1 ,
g
′(
x
)>0,函数
g
(
x
)=
f
′(
x
)单调递增,又因为
f
′(
x
)>
f
′(1)=0,所以
x
>1,
f
′(
x
)>0,函数
f
(
x
)单调递增;
当0<
x
<1,
g
′(
x
)<0,
g
(
x
)=
f
′(
x
)单调递减,
又因为
f
′(
x
)>
f
′(1)=0,所以0<
x
<1,
f
′(
x
)>0.
函数
f
(
x
)单调递增.
所以函数
y
=
f
(
x
)在(0,+∞)上单调递增.
(2)
h
(
x
)=ln
x
+
-1+
,
h
′(
x
)=
-
-
=
,设
φ
(
x
)=
x
e
x
-e
x
-
x
2
,
φ
′(
x
)=
x
e
x
-2
x
=
x
(e
x
-2),当
x
∈(0,ln 2),
φ
′(
x
)<0,函数
φ
(
x
)单调递减,
又因为
φ
(
x
)<
φ
(0)=-1<0,所以0<
x
<ln 2,
h
′(
x
)<0,函数
h
(
x
)单调递减.
当
x
∈(ln 2,+∞),
φ
′(
x
)>0,函数
φ
(
x
)单调递增,又因为
φ
(
x
)>
φ
(ln 2)=2ln 2-2-(ln 2)
2
,又
φ
(1)=-1<0,
φ
(2)=e
2
-4>0,故存在
x
0
∈(1,2),使得
φ
(
x
)=0,即
x
0
e
x
0
-e
x
0
-
=0,在(0,
x
0
)上,
φ
(
x
)<0,在(
x
0
,+∞)上,
φ
(
x
)>0.
即
h
(
x
)在(0,
x
0
)上递减,在(
x
0
,+∞)上递增.
所以有
h
(
x
)≥
h
(
x
0
)=ln
x
0
+
-1+
,又
=
-
,所以
h
(
x
)≥
h
(
x
0
)=ln
x
0
+
-1+
=ln
x
0
+
-
-1,不妨令
M
(
x
)=ln
x
+
-
-1,当
x
∈(1,2)时,
M
′(
x
)=
.
M
′(
x
)=
=
>0恒成立,所以,
M
(
x
)是单增函数,又
M
(1)=0,
M
(2)=ln 2-
<1,
所以有1>
h
(
x
0
)=ln
x
0
+
-
-1>0.
所以
k
≤0,所以
k
的最大值为0.
举一反三
已知函数
f
(
x
)=e
x
-
kx
2
,
x
∈R.
(1)若
k
=
,求证:当
x
∈(0,+∞)时,
f
(
x
)>1;
(2)若
f
(
x
)在区间(0,+∞)上单调递增,试求
k
的取值范围;
(3)求证:
<e
4
(
n
∈N
*
)..
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=(
ax
2
+
bx
+
c
)e
x
且
f
(0)=1,
f
(1)=0.
(1)若
f
(
x
)在区间[0,1]上单调递减,求实数
a
的取值范围;
(2)当
a
=0时,是否存在实数
m
使不等式2
f
(
x
)+4
x
e
x
≥
mx
+1≥-
x
2
+4
x
+1对任意
x
∈R恒成立?若存在,求出
m
的值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=
.
(1)函数
f
(
x
)在点(0,
f
(0))的切线与直线2
x
+
y
-1=0平行,求
a
的值;
(2)当
x
∈[0,2]时,
f
(
x
)≥
恒成立,求
a
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
在
处存在极值.
(1)求实数
的值;
(2)函数
的图像上存在两点A,B使得
是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在
轴上,求实数
的取值范围;
(3)当
时,讨论关于
的方程
的实根个数.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
的图像在点
处的切线斜率为10.
(1)求实数
的值;
(2)判断方程
根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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