设函数f(x)=(x+1)ln x-2x.(1)求函数的单调区间;(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.

设函数f(x)=(x+1)ln x-2x.(1)求函数的单调区间;(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=(x+1)ln x-2x.
(1)求函数的单调区间;
(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
答案
(1)在(0,+∞)上单调递增.(2)0
解析
(1)函数的定义域为(0,+∞).
f′(x)=ln x-1,不妨令g(x)=ln x-1,g′(x)=
x>1 ,g′(x)>0,函数g(x)=f′(x)单调递增,又因为f′(x)>f′(1)=0,所以x>1,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当0<x<1,g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减,
又因为f′(x)>f′(1)=0,所以0<x<1,f′(x)>0.
函数f(x)单调递增.
所以函数yf(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)h(x)=ln x-1+h′(x)=,设φ(x)=xex-exx2φ′(x)=xex-2xx(ex-2),当x∈(0,ln 2),φ′(x)<0,函数φ(x)单调递减,
又因为φ(x)<φ(0)=-1<0,所以0<x<ln 2,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.
x∈(ln 2,+∞),φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增,又因为φ(x)>φ(ln 2)=2ln 2-2-(ln 2)2,又φ(1)=-1<0,φ(2)=e2-4>0,故存在x0∈(1,2),使得φ(x)=0,即x0ex0-ex0=0,在(0,x0)上,φ(x)<0,在(x0,+∞)上,φ(x)>0.
h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增.
所以有h(x)≥h(x0)=ln x0-1+,又,所以h(x)≥h(x0)=ln x0-1+=ln x0-1,不妨令M(x)=ln x-1,当x∈(1,2)时,M′(x)=.
M′(x)=>0恒成立,所以,M(x)是单增函数,又M(1)=0,M(2)=ln 2-<1,
所以有1>h(x0)=ln x0-1>0.
所以k≤0,所以k的最大值为0.
举一反三
已知函数f(x)=exkx2x∈R.
(1)若k,求证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>1;
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值范围;
(3)求证:<e4(n∈N*)..
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已知函数f(x)=(ax2bxc)exf(0)=1,f(1)=0.
(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xexmx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=.
(1)函数f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2xy-1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
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已知函数处存在极值.
(1)求实数的值;
(2)函数的图像上存在两点A,B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在轴上,求实数的取值范围;
(3)当时,讨论关于的方程的实根个数.
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已知函数的图像在点处的切线斜率为10.
(1)求实数的值;
(2)判断方程根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
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