已知函数f(x)=ax+ln x,g(x)=ex.(1)当a≤0时,求f(x)的单调区间;(2)若不等式g(x)< 有解,求实数m的取值范围.
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已知函数f(x)=ax+ln x,g(x)=ex.(1)当a≤0时,求f(x)的单调区间;(2)若不等式g(x)< 有解,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f
(
x
)=
ax
+ln
x
,
g
(
x
)=e
x
.
(1)当
a
≤0时,求
f
(
x
)的单调区间;
(2)若不等式
g
(
x
)<
有解,求实数
m
的取值范围.
答案
(1)当
a
=0时,
f
(
x
)在(0,+∞)单调递增;当
a
<0时,
f
(
x
)在
单调递增,在
单调递减.(2)(-∞,0)
解析
(1)
f
(
x
)的定义域是(0,+∞),
f
′(
x
)=
a
+
(
x
>0)
①当
a
=0时,
f
′(
x
)>0,∴
f
(
x
)在(0,+∞)单调递增;
②当
a
<0时,由
f
′(
x
)=0,解得
x
=-
,
则当
x
∈
时,
f
′(
x
)>0,∴
f
(
x
)单调递增,
当
x
∈
时,
f
′(
x
)<0,
f
(
x
)单调递减,综上所述:当
a
=0时,
f
(
x
)在(0,+∞)单调递增;当
a
<0时,
f
(
x
)在
单调递增,在
单调递减.
(2)由题意:e
x
<
有解,即e
x
<
x
-
m
有解,因此只需
m
<
x
-e
x
,
x
∈(0,+∞)有解即可,设
h
(
x
)=
x
-e
x
,
h
′(
x
)=1-e
x
-
=1-e
x
,因为:
+
≥2
=
>1,且
x
∈(0,+∞)时e
x
>1,所以:1-e
x
<0,即
h
′(
x
)<0.
故
h
(
x
)在[0,+∞)单调递减,
∴
h
(
x
)<
h
(0)=0,∴
m
<0.
故实数
m
的取值范围是(-∞,0).
举一反三
已知函数
f
(
x
)=
ax
ln
x
图象上点(e,
f
(e))处的切线与直线
y
=2
x
平行,
g
(
x
)=
x
2
-
tx
-2.
(1)求函数
f
(
x
)的解析式;
(2)求函数
f
(
x
)在[
n
,
n
+2](
n
>0)上的最小值;
(3)对一切
x
∈(0,e],3
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立,求实数
t
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=
,
x
∈(1,+∞).
(1)求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2)函数
f
(
x
)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
m
=(e
x
,ln
x
+
k
),
n
=(1,
f
(
x
)],
m
∥
n
(
k
为常数),曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))处的切线与
y
轴垂直,
F
(
x
)=
x
e
x
f
′(
x
).
(1)求
k
的值及
F
(
x
)的单调区间;
(2)已知函数
g
(
x
)=-
x
2
+2
ax
(
a
为正实数),若对于任意
x
2
∈[0,1],总存在
x
1
∈(0,+∞),使得
g
(
x
2
)<
F
(
x
1
),求实数
a
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=
a
ln
x
-
ax
-3(
a
∈R).
(1)若
a
=-1,求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2)若函数
y
=
f
(
x
)的图象在点(2,
f
(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的
t
∈[1,2],函数
g
(
x
)=
x
3
+
x
2
(
f
′(
x
)是
f
(
x
)的导函数)在区间(
t,
3)上总不是单调函数,求
m
的取值范围;
(3)求证:
×…×
<
(
n
≥2,
n
∈N
*
)
题型:不详
难度:
|
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设函数
f
(
x
)=(
x
+1)ln
x
-2
x
.
(1)求函数的单调区间;
(2)设
h
(
x
)=
f
′(
x
)+
,若
h
(
x
)>
k
(
k
∈Z)恒成立,求
k
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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