已知函数f(x)=axln x图象上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x平行,g(x)=x2-tx-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在
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已知函数f(x)=axln x图象上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x平行,g(x)=x2-tx-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f
(
x
)=
ax
ln
x
图象上点(e,
f
(e))处的切线与直线
y
=2
x
平行,
g
(
x
)=
x
2
-
tx
-2.
(1)求函数
f
(
x
)的解析式;
(2)求函数
f
(
x
)在[
n
,
n
+2](
n
>0)上的最小值;
(3)对一切
x
∈(0,e],3
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立,求实数
t
的取值范围.
答案
(1)
f
(
x
)=
x
ln
x
(2)-
(3) [-1,+∞)
解析
(1)由
f
(
x
)在点(e,
f
(e))处的切线方程与直线2
x
-
y
=0平行,得该切线斜率为2,即
f
′(e)=2.
又∵
f
′(
x
)=
a
(ln
x
+1),∴
a
(ln e+1)=2,
a
=1,
所以
f
(
x
)=
x
ln
x
.
(2)由(1)知
f
′(
x
)=ln
x
+1,显然
f
′(
x
)=0时,
x
=e
-1
,当
x
∈
时,
f
′(
x
)<0,所以函数
f
(
x
)在
上单调递减,当
x
∈
时
f
′(
x
)>0,所以函数
f
(
x
)在
上单调递增,①当
∈(
n
,
n
+2]时,
f
(
x
)
min
=
f
=-
;
②当
≤
n
<
n
+2时,函数
f
(
x
)在[
n
,
n
+2]上单调递增,因此
f
(
x
)
min
=
f
(
n
)=
n
ln
n
;
所以
f
(
x
)
min
=
(3)对一切
x
∈(0,e],3
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立,又
g
(
x
)=
x
2
-
tx
-2,∴3
x
ln
x
≥
x
2
-
tx
-2,
即
t
≥
x
-3ln
x
-
.设
h
(
x
)=
x
-3ln
x
-
,
x
∈(0,e],则
h
′(
x
)=1-
+
=
,由
h
′(
x
)=0得
x
=1或2,∴
x
∈(0,1),
h
′(
x
)>0,
h
(
x
)单调递增,
x
∈(1,2),
h
′(
x
)<0,
h
(
x
)单调递减,
x
∈(2,e),
h
′(
x
)>0,
h
(
x
)单调递增,∴
h
(
x
)
极大值
=
h
(1)=-1,且
h
(e)=e-3-2e
-1
<-1,所以
h
(
x
)
max
=
h
(1)=-1.
因为对一切
x
∈(0,e],3
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立,
∴
t
≥
h
(
x
)
max
=-1.故实数
t
的取值范围是[-1,+∞).
举一反三
已知函数
f
(
x
)=
,
x
∈(1,+∞).
(1)求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2)函数
f
(
x
)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
m
=(e
x
,ln
x
+
k
),
n
=(1,
f
(
x
)],
m
∥
n
(
k
为常数),曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))处的切线与
y
轴垂直,
F
(
x
)=
x
e
x
f
′(
x
).
(1)求
k
的值及
F
(
x
)的单调区间;
(2)已知函数
g
(
x
)=-
x
2
+2
ax
(
a
为正实数),若对于任意
x
2
∈[0,1],总存在
x
1
∈(0,+∞),使得
g
(
x
2
)<
F
(
x
1
),求实数
a
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=
a
ln
x
-
ax
-3(
a
∈R).
(1)若
a
=-1,求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2)若函数
y
=
f
(
x
)的图象在点(2,
f
(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的
t
∈[1,2],函数
g
(
x
)=
x
3
+
x
2
(
f
′(
x
)是
f
(
x
)的导函数)在区间(
t,
3)上总不是单调函数,求
m
的取值范围;
(3)求证:
×…×
<
(
n
≥2,
n
∈N
*
)
题型:不详
难度:
|
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设函数
f
(
x
)=(
x
+1)ln
x
-2
x
.
(1)求函数的单调区间;
(2)设
h
(
x
)=
f
′(
x
)+
,若
h
(
x
)>
k
(
k
∈Z)恒成立,求
k
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=e
x
-
kx
2
,
x
∈R.
(1)若
k
=
,求证:当
x
∈(0,+∞)时,
f
(
x
)>1;
(2)若
f
(
x
)在区间(0,+∞)上单调递增,试求
k
的取值范围;
(3)求证:
<e
4
(
n
∈N
*
)..
题型:不详
难度:
|
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