试题分析:(Ⅰ)时,,先求切线斜率,又切点为,利用直线的点斜式方程求出直线方程;(Ⅱ)极值点即定义域内导数为0的根,且在其两侧导数值异号,首先求得定义域为,再去绝对号,分为和两种情况,其次分别求的根并与定义域比较,将定义域外的舍去,并结合图象判断其两侧导数符号,进而求极值点;(Ⅲ)即,当时,显然成立;当时,,当时,去绝对号得恒成立或恒成立,转换为求右侧函数的最值处理. 试题解析:的定义域为. (Ⅰ)若,则,此时.因为,所以,所以切线方程为,即. (Ⅱ)由于,. ⑴ 当时,,, 令,得,(舍去), 且当时,;当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增,的极小值点为. ⑵ 当时,. ① 当时,,令,得,(舍去). 若,即,则,所以在上单调递增; 若,即, 则当时,;当时,,所以在区间上是单调递减,在上单调递增,的极小值点为. ② 当时,. 令,得,记, 若,即时,,所以在上单调递减; 若,即时,则由得,且, 当时,;当时,;当时,, 所以在区间上单调递减,在上单调递增;在上单调递减. 综上所述,当时,的极小值点为和,极大值点为; 当时,的极小值点为; 当时,的极小值点为. (Ⅲ)函数的定义域为.由,可得…(*) (ⅰ)当时,,,不等式(*)恒成立; (ⅱ)当时,,即,所以; (ⅲ)当时,不等式(*)恒成立等价于恒成立或恒成立. 令,则.令,则, 而,所以,即, 因此在上是减函数,所以在上无最小值, 所以不可能恒成立. 令,则,因此在上是减函数, 所以,所以.又因为,所以. 综上所述,满足条件的的取值范围是. |