试题分析:(1)根据利用导数求函数在闭区间上的最值的方法即可求得. (2)首先将代入得,然后求导:. 在区间上不单调,那么方程在(0,3)上应有实数解,且不是重根即解两侧的导数值小于0. 将方程变形分离变量得:.下面就研究函数,易得函数在上单调递增,所以,().结合图象知,时,在(0,3)上有实数解.这些解会不会是重根呢? 由得:,若有重根,则或.这说明时,没有重根. 由此得:. (3)时,,所以.有两个实根,则将两根代入方程,可得. 再看看待证不等式:,这里面不仅有,还有,那么是否可以消去一些字母呢? 将两式相减,得, 变形得: , 将此式代入上面不等式即可消去,整理可得: ,再变形得:.下面就证这个不等式.这类不等式就很常见了,一般是将看作一个整体,令,又转化为 ,只需证即可.而这利用导数很易得证. 试题解析:(1) 函数在[,1]是增函数,在[1,2]是减函数, 3分 所以. 4分 (2)因为,所以, 5分 因为在区间上不单调,所以在(0,3)上有实数解,且无重根, 由,有=,() 6分 又当时,有重根;时,有重根. 7分 综上 8分 (3)∵,又有两个实根, ∴,两式相减,得, ∴, 10分 于是 . 11分 . 要证:,只需证: 只需证:.(*) 12分 令,∴(*)化为 ,只证即可. 在(0,1)上单调递增,,即.∴. 14分 |