试题分析:本题综合考察函数与导数及运用导数求单调区间、极值、最值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.第一问,将代入,先得到的表达式,注意到定义域中,对求导,根据,判断出的单调增区间,,判断出的单调减区间,通过单调性判断出极值的位置,求出极值;第二问,先将恒成立转化为恒成立,所以整个这一问只需证明即可,对求导,由于,所以须讨论的正负,当时,,所以判断出在上为增函数,但是,所以当时,不符合题意,当时,判断出在上为减函数,上为增函数,但是,必须证明出,所以再构造新函数,判断函数的最值,只有时符合. 试题解析:⑴解:注意到函数的定义域为, , 当时, , 2分 若,则;若,则. 所以是上的减函数,是上的增函数, 故, 故函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值.---5分 ⑵解:由⑴知, 当时,对恒成立,所以是上的增函数, 注意到,所以时,不合题意. 7分 当时,若,;若,. 所以是上的减函数,是上的增函数, 故只需. 9分 令, , 当时,; 当时,. 所以是上的增函数,是上的减函数. 故当且仅当时等号成立. 所以当且仅当时,成立,即为所求. 12分 |