试题分析:本题主要考查导数的计算以及运用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,考查学生的函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力和计算能力.第一问,注意到函数的定义域中,所以先将原恒成立的不等式进行转化,设出新函数,只需证出即可,所以转化为求函数的最小值问题,对求导,讨论的正负,判断函数的单调性和最值;第二问,结合第一问的结论,判断出当或或时不合题意,当时,先求出的解,假设存在成立,得到的值,代入到中,判断有没有可能为0,设出新函数,只需判断的最小值的正负,对求导,并进行二次求导,判断函数的单调性,判断出,所以不合题意,所以不存在满足条件的实数. 试题解析:⑴解:注意到函数的定义域为, 所以恒成立恒成立, 设, 则, 2分 当时,对恒成立,所以是上的增函数, 注意到,所以时,不合题意. 4分 当时,若,;若,. 所以是上的减函数,是上的增函数, 故只需. 6分 令, , 当时,; 当时,. 所以是上的增函数,是上的减函数. 故当且仅当时等号成立. 所以当且仅当时,成立,即为所求. 8分 ⑵解:由⑴知当或时,,即仅有唯一解,不合题意; 当时, 是上的增函数,对,有, 所以没有大于的根,不合题意. 8分 当时,由解得,若存在, 则,即, 令,, 令,当时,总有, 所以是上的增函数,即, 故,在上是增函数, 所以,即在无解. 综上可知,不存在满足条件的实数. 12分 |