已知a为给定的正实数,m为实数,函数f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;(Ⅱ)若存在x0∈(0,
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已知a为给定的正实数,m为实数,函数f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;(Ⅱ)若存在x0∈(0,
题型:不详
难度:
来源:
已知a为给定的正实数,m为实数,函数f
(x)=ax
3
-3(m+a)x
2
+12mx+1.
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ)若存在x
0
∈(0,3),使得f(x
0
)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
答案
(Ⅰ)a;(Ⅱ)m≤
或m≥
.
解析
试题分析:(Ⅰ) 求原函数的导函数,则导函数恒大于等于0,即可得所求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知导函数
时等于0,则
为函数的极值,要使
有最值,再看导函数为0时的另外一个根
的范围,然后分情况讨论:①
时,显然
为最值;②
时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m;③
时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m,综合①②③可得m的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题意得f′(x)=3ax
2
-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m),
由于f(x)在(0,3)上无极值点,故
=2,所以m=a. 5分
(Ⅱ)由于f′(x)=3(x-2)(ax-2m),故
(i)当
≤0或
≥3,即m≤0或m≥
a时,
取x
0
=2即满足题意.此时m≤0或m≥
a.
(ii)当0<
<2,即0<m<a时,列表如下:
x
0
(0,
)
(
,2)
2
(2,3)
3
f
′(x)
+
0
-
0
+
f
(x)
1
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
9m+1
故f(2)≤f(0)或f(
)≥f(3),
即-4a+12m+1≤1或
+1≥9m+1,
即3m≤a或
≥0,
即m≤
或m≤0或m=
.此时0<m≤
.
(iii)当2<
<3,即a<m<
时,列表如下:
x
0
(0,2)
2
(2,
)
(
,3)
3
f
′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
1
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
9m+1
故f(
)≤f(0)或f(2)≥f(3),
即
+1≤1或-4a+12m+1≥9m+1,
即
≤0或3m≥4a,
即m=0或m≥3a或m≥
.
此时
≤m<
.
综上所述,实数m的取值范围是m≤
或m≥
. 14分
举一反三
已知函数
(
为常实数)的定义域为
,关于函数
给出下列命题:
①对于任意的正数
,存在正数
,使得对于任意的
,都有
.
②当
时,函数
存在最小值;
③若
时,则
一定存在极值点;
④若
时,方程
在区间(1,2)内有唯一解.
其中正确命题的序号是
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
(
为常数)
(1)当
时
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若函数
有对称中心为A(1,0),求证:函数
的切线
在切点处穿过
图象的充要条件是
恰为函数在点A处的切线.(直线穿过曲线是指:直线与曲线有交点,且在交点左右附近曲线在直线异侧)
题型:不详
难度:
|
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已知函数
的图像在点
处的切线方程为
.
(I)求实数
,
的值;
(Ⅱ)当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(Ⅰ)若
,求函数
的极值,并指出是极大值还是极小值;
(Ⅱ)若
,求证:在区间
上,函数
的图像在函数
的图像的下方.
题型:不详
难度:
|
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设数列
的前
项和为
,已知
(n∈N*).
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)令
,数列
的前
项和为
.利用(2)的结论证明:当n∈N*且n≥2时,
.
题型:不详
难度:
|
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