试题分析:(Ⅰ)先由已知条件写出,的表达式,观察式子的结构特征,用不完全归纳法归纳出表达式(可以用数学归纳法给出证明);(Ⅱ)由(Ⅰ)知的表达式,要求极值点,就要借助的导函数,令,解出可能的极值点,验证是极值后代入解析式,即可求出的最小值;(Ⅲ)类比求函数的最小值的过程,即可求出函数的极大值,进而求出函数的最大值,从而得的关系式,将它看作数列,研究该数列相邻两项的关系,即可求得的最小值;得的关系式后,也可以构造函数,利用导数求它的最小值,即得的最小值. 试题解析:(Ⅰ) 4分 (Ⅱ)∵,∴当时,;当时,,∴当时,取得极小值,即() 8分 (Ⅲ)解法一:∵,所以. 9分 又,∴,令,则. 10分 ∵在单调递增,∴,∵,, ∴存在使得. 12分 ∵在单调递增,∴当时,;当时,,即在单调递增,在单调递减,∴,又∵,,, ∴当时,取得最小值. 14分 解法二: ∵,所以. 9分 又,∴,令,则, 10分 当时,,又因为,所以,,, ∴,所以. 12分 又,,∴当时,取得最小值. 14分 |