试题分析:(Ⅰ)根据f(x)=cosx的最大值为1,可得f1(x)、f2(x)的解析式. (Ⅱ)根据函数f(x)=x2在x∈[-1,4]上的值域,先写出f1(x)、f2(x)的解析式,再由f2(x)-f1(x)≤k(x-a)求出k的范围得到答案. (3)先对函数f(x)进行求导判断函数的单调性,进而写出f1(x)、f2(x)的解析式, 然后再由f2(x)-f1(x)≤k(x-a)求出k的范围得到答案. 试题解析: (Ⅰ)由题意可得: , 2分 (Ⅱ) , , 所以 4分 当 时, ,∴ ,即 ; 当 时, ,∴ ,即 ; 当 时, ,∴ ,即 . 综上所述,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035812-74086.png) 即存在k=4,使得f(x)是[﹣1,4]上的4阶收缩函数. 7分 (Ⅲ) 令 得 或 .函数f(x)的变化情况如下:
x
| (- ,0)
| 0
| (0,2)
| 2
| (2,+ )
| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035813-71310.png)
| -
| 0
| +
| 0
| -
| f(x)
| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035813-38309.png)
| 0
| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035813-38309.png)
| 4
| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035813-38309.png)
| 令f(x)=0,解得x=0或3. (ⅰ)b≤2时,f(x)在[0,b]上单调递增,因此 , . 因为 是[0,b]上的2阶收缩函数,所以,① 对x∈[0,b]恒成立;②存在x∈[0,b],使得 成立. ①即: 对x∈[0,b]恒成立,由 ,解得:0≤x≤1或x≥2, 要使 对x∈[0,b]恒成立,需且只需0<b≤1. ②即:存在x∈[0,b],使得 成立.由 得:x<0或 ,所以 . 综合①②可得: . 10分 (ⅱ)当b>2时,显然有 ,由于f(x)在[0,2]上单调递增,根据定义可得: , ,可得 , 此时, 不成立. 12分 综合ⅰ)ⅱ)可得: 的取值范围为 . 13分 (注:在(ⅱ)中只要取区间 内的一个数来构造反例即可,这里用 只是因为简单而已) |