试题分析:本题考查函数与导数、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识和方法,考查综合运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力,考查函数思想和分类讨论思想.第一问,先将代入得到解析式,因为仅有一个零点,所以和仅有一个交点,所以关键是的图像,对求导,令和判断函数的单调性,确定函数的极值和最值所在位置,求出具体的数值,便可以描绘出函数图像,来决定的位置;第二问,先将代入,得到解析式,作差法比较大小,得到新函数,判断的正负即可,通过对求导,可以看出在上是增函数且,所以分情况会出现3种大小关系;第三问,法一:利用第二问的结论,得到表达式,再利用不等式的性质得到所证表达式的右边,左边是利用对数的运算性质化简,得证;法二,用数学归纳法证明,先证明当时不等式成立,再假设当时不等式成立,然后利用假设的结论证明当时不等式成立即可. 试题解析:(1)当时,,定义域是, ,令,得或. ∵当或时,,当时,, ∴的极大值是,极小值是. ∵当时,,当时,, 当仅有一个零点时,的取值范围是或. 4分 (2)当时,,定义域为. 令, , 在上是增函数. ①当时,,即; ②当时,,即; ③当时,,即. 8分 (3)(法一)根据(2)的结论,当时,,即. 令,则有, ., . 12分 (法二)当时,. ,,即时命题成立. 设当时,命题成立,即 . 时,. 根据(2)的结论,当时,,即. 令,则有, 则有,即时命题也成立. 因此,由数学归纳法可知不等式成立. |