已知函数f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;
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已知函数f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=ax
4
lnx+bx
4
﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.
(1)试确定a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣2c
2
恒成立,求c的取值范围.
答案
(1)a="12" b=﹣3 (2)f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);
(3)(﹣∞,﹣1]∪
解析
试题分析: (1)由极值的定义和已知条件可得b﹣c=﹣3﹣c,,即b=-3;对已知函数求导,再由
,列出管a,b 的等式,即可得到a的值.(2)由(1)可得到f(x)的表达式,然后对其求导,由
或
,可得到函数的单调增区间或减区间.(3)求出f(x)的最小值﹣3﹣c,已知条件式f(x)≥﹣2c
2
恒成立可转化为﹣3﹣c≥﹣2c
2
,
解得c即可.
试题解析:解:(1)由题意知f(1)=﹣3﹣c,因此b﹣c=﹣3﹣c,从而b=﹣3。2分
又对f(x)求导得
=x
3
(4alnx+a+4b),
由题意f"(1)=0,因此a+4b=0,得a=12 4分
(2)由(1)知f"(x)=48x
3
lnx(x>0),令f"(x)=0,解得x=1
当0<x<1时,f"(x)<0, f(x)单调递减;当x>1时,f"(x)>0, f(x)单调递增,
故 f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞) 8分
(3)由(2)知,f(x)在x=1处取得极小值f(1)=﹣3﹣c,此极小值也是最小值,
要使f(x)≥﹣2c
2
(x>0)恒成立,只需﹣3﹣c≥﹣2c
2
10分
即2c
2
﹣c﹣3≥0,从而(2c﹣3)(c+1)≥0,解得
或c≤﹣1
所以c的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪
12分
举一反三
已知函数
(1)当
时,求函数
的极值;
(2)若函数
在定义域内为增函数,求实数m的取值范围;
(3)若
,
的三个顶点
在函数
的图象上,且
,
、
、
分别为
的内角A、B、C所对的边。求证:
题型:不详
难度:
|
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设
,
.
(Ⅰ)当
时,求曲线
在
处的切线的方程;
(Ⅱ)如果存在
,使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;
(Ⅲ)如果对任意的
,都有
成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
,函数
的图像在点
处的切线平行于
轴.
(1)求
的值;
(2)求函数
的极小值;
(3)设斜率为
的直线与函数
的图象交于两点
,(
),证明:
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
的最大值为0,其中
。
(1)求
的值;
(2)若对任意
,有
成立,求实数
的最大值;
(3)证明:
题型:不详
难度:
|
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已知函数
。
(1)求函数
在
上的最小值;
(2)对一切
,
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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