已知函数,,函数的图像在点处的切线平行于轴.(1)求的值;(2)求函数的极小值; (3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点,(),证明:.
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已知函数,,函数的图像在点处的切线平行于轴.(1)求的值;(2)求函数的极小值; (3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点,(),证明:.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
,函数
的图像在点
处的切线平行于
轴.
(1)求
的值;
(2)求函数
的极小值;
(3)设斜率为
的直线与函数
的图象交于两点
,(
),证明:
.
答案
(1)
;(2)
;(3)证明过程详见解析.
解析
试题分析:本题考查函数与导数及运用导数求切线方程、单调区间、最值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,对
求导,将
代入得到切线的斜率,由已知得
,即
,所以
;第二问,利用第一问的结论得到
的解析式,对
求导,判断函数的单调性和极值;第三问,先用分析法得出与结论等价的式子,即
,先证不等式的右边,构造函数
,通过求导数判断函数的单调性,求出最大值,所以
,即
,再证不等式的左边,同样构造函数
,通过求导,求出最小值,即
,即
,综合上述两部分的证明可得
.
试题解析:(1)依题意得
,则
由函数
的图象在点
处的切线平行于
轴得:
∴
.
(2)由(1)得
∵函数
的定义域为
,令
得
或
函数
在
上单调递增,在
单调递减;在
上单调递增.故函数
的极小值为
(3)证法一:依题意得
,
要证
,即证
因
,即证
令
(
),即证
(
)
令
(
)则
∴
在(1,+
)上单调递减,
∴
即
,
①
令
(
)则
∴
在(1,+
)上单调递增,
∴
=0,即
(
) ②
综①②得
(
),即
.
【证法二:依题意得
,
令
则
由
得
,当
时,
,当
时,
,
在
单调递增,在
单调递减,又
即
举一反三
已知函数
的最大值为0,其中
。
(1)求
的值;
(2)若对任意
,有
成立,求实数
的最大值;
(3)证明:
题型:不详
难度:
|
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已知函数
。
(1)求函数
在
上的最小值;
(2)对一切
,
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数
的图象上;②点A、B关于原点对称,则点(A,B)是函数
的一个“姊妹点对”。点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数
,则
的“姊妹点对”有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
题型:不详
难度:
|
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已知x=1是函数
的一个极值点,
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当
时,证明:
题型:不详
难度:
|
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设函数
,其中
.
(I)若函数
图象恒过定点P,且点P关于直线
的对称点在
的图象上,求m的值;
(Ⅱ)当
时,设
,讨论
的单调性;
(Ⅲ)在(I)的条件下,设
,曲线
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题型:不详
难度:
|
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