试题分析:( I )先求出定点P,然后找出点P关于直线的对称点代入,即得到;(Ⅱ)将代入,得到,再讨论m的取值范围,从而得到的单调性;(Ⅲ)先求出的表达式,再假设存在P、Q两点满足题意,由,讨论的范围,从而得到a的取值范围为. 试题解析:( I ) 令,则,即函数图象恒过定点P (2,0) (1分) ∴P (2,0)关于直线的对称点为(1,0) (2分) 又点(1,0)在的图象上,∴,∴ (3分) (Ⅱ) ∵且定义域为 (4分) ∴ (5分) ∵x>0,则x+1>0 ∴当m≥0时,此时在(0,+∞)上为增函数. (6分) 当m<0时,由得,由得 ∴在上为增函数,在上为减函数. (7分) 综上,当m≥0时,在(0,+∞)上为增函数. 当m<0时,在上为增函数,在上为减函数. (8分) (Ⅲ)由( I )知,,假设曲线上存在两点P、Q满足题意,则P、Q两点只能在轴两侧,设,则, 因为△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形, ,即① (1)当时,,此时方程①为,化简得.此方程无解,满足条件的P、Q不存在. (2)当时,,此时方程①为, 即. 设,则, 显然当时,,即在上为增函数,所以的值域为. 所以当时方程①总有解. 综上,存在P、Q两点满足题意,则a的取值范围为. |