试题分析:( I )先求出定点P,然后找出点P关于直线 的对称点代入 ,即得到 ;(Ⅱ)将 代入,得到 ,再讨论m的取值范围,从而得到 的单调性;(Ⅲ)先求出 的表达式,再假设存在P、Q两点满足题意,由 ,讨论 的范围,从而得到a的取值范围为 . 试题解析:( I ) 令 ,则 ,即函数 图象恒过定点P (2,0) (1分) ∴P (2,0)关于直线 的对称点为(1,0) (2分) 又点(1,0)在 的图象上,∴ ,∴ (3分) (Ⅱ) ∵ 且定义域为 (4分) ∴ (5分) ∵x>0,则x+1>0 ∴当m≥0时 ,此时 在(0,+∞)上为增函数. (6分) 当m<0时,由 得 ,由 得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018040913-33640.png) ∴ 在 上为增函数,在 上为减函数. (7分) 综上,当m≥0时, 在(0,+∞)上为增函数. 当m<0时, 在 上为增函数,在 上为减函数. (8分) (Ⅲ)由( I )知, ,假设曲线 上存在两点P、Q满足题意,则P、Q两点只能在 轴两侧,设 ,则 , 因为△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,
,即 ① (1)当 时, ,此时方程①为 ,化简得 .此方程无解,满足条件的P、Q不存在. (2)当 时, ,此时方程①为 , 即 . 设 ,则 , 显然当 时, ,即 在 上为增函数,所以 的值域为 . 所以当 时方程①总有解. 综上,存在P、Q两点满足题意,则a的取值范围为 . |