试题分析:本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,考查函数思想和转化思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,将 代入得到 解析式,求 将 代入得到切线的斜率,再将 代入到 中得到切点的纵坐标,利用点斜式求出切线方程;第二问,先将问题转化为 ,进一步转化为求函数 的最大值和最小值问题,对 求导,通过画表判断函数的单调性和极值,求出最值代入即可;第三问,结合第二问的结论,将问题转化为 恒成立,进一步转化为 恒成立,设出新函数 ,求 的最大值,所以 即可. 试题解析:(1)当 时, , , , , 所以曲线 在 处的切线方程为 ; 2分 (2)存在 ,使得 成立等价于: , 考察 , , 由上表可知: ,
, 所以满足条件的最大整数 ; 7分 (3)当 时, 恒成立等价于 恒成立, 记 , , , 记 , ,由于 ,
,所以 在 上递减, 当 时, , 时, , 即函数 在区间 上递增,在区间 上递减, 所以 ,所以 . |