已知函数,且在时函数取得极值.(1)求的单调增区间;(2)若,(Ⅰ)证明:当时,的图象恒在的上方;(Ⅱ)证明不等式恒成立.

已知函数,且在时函数取得极值.(1)求的单调增区间;(2)若,(Ⅰ)证明:当时,的图象恒在的上方;(Ⅱ)证明不等式恒成立.

题型:不详难度:来源:
已知函数,且在时函数取得极值.
(1)求的单调增区间;
(2)若
(Ⅰ)证明:当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)证明不等式恒成立.
答案
(1)函数的单调增区间为;(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)先利用函数处取得极值,由求出的值,进而求出的解析式,解不等式,从而得出函数的单调增区间;(2)(Ⅰ)构造新函数,利用导数证明不等式在区间上成立,从而说明当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的结论证明当时,,由此得到,结合累加法得到,再进行放缩得到
,从而证明.
试题解析:(1),函数的定义域为
由于函数处取得极值,则

解不等式,得
故函数的单调增区间为
(2)(Ⅰ)构造函数,其中
,故函数在区间上单调递减,
则对任意,则,即,即
即当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)先证当时,,由(Ⅰ)知,当时,
故有
由于
上述个不等式相加得,即
,由于
上述不等式两边同时乘以.
举一反三
已知函数.
(1)若函数满足,且在定义域内恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若函数在定义域上是单调函数,求实数的取值范围;
(3)当时,试比较的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数.
⑴求函数的单调区间;
⑵如果对于任意的总成立,求实数的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数).
(1)求的单调区间;
⑵如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
⑶讨论关于的方程的实根情况.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数是R上的奇函数,当取得极值.
(I)求的单调区间和极大值
(II)证明对任意不等式恒成立.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数:
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对于任意的,若函数在 区间上有最值,求实数的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.