已知函数().(1)求的单调区间;⑵如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;⑶讨论关于的方程的实根情况.

已知函数().(1)求的单调区间;⑵如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;⑶讨论关于的方程的实根情况.

题型:不详难度:来源:
已知函数).
(1)求的单调区间;
⑵如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
⑶讨论关于的方程的实根情况.
答案
(1)单调增区间是,单调减区间是;(2);(3)见解析.
解析

试题分析:(1)先由对数函数的定义求出函数的定义域,然后求出函数的导数,结合函数的单调性与导数的关系求解;(2)先写出切点处的切线的斜率,然后根据已知条件得到,则有,结合二次函数在区间上的图像与性质,可得的最小值;(3)根据已知条件构造函数,将方程的实根的情况转化为函数的零点问题.由函数单调性与导数的关系可知,在区间上单调递增,在区间上单调递减,即最大值是,分三种情况进行讨论:当,函数的图象与轴恰有两个交点;当时,函数的图象与轴恰有一个交点;当时,函数的图象与轴无交点.由方程的根与函数零点的关系得解.
试题解析:(1),定义域为


得,;由得,.
∴函数的单调增区间是,单调减区间是.                 2分
(2)由题意,以为切点的切线的斜率满足:

所以恒成立.
又当时,
所以的最小值为.                                7分.
(3)由题意,方程化简得:
.
,则
时,;当时,.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以处取得极大值即最大值,最大值为
所以当,即时,的图象与轴恰有两个交点,
方程有两个实根;
时,的图象与轴恰有一个交点,
方程有一个实根;
时,的图象与轴无交点,
方程无实根.                     12分
举一反三
已知函数是R上的奇函数,当取得极值.
(I)求的单调区间和极大值
(II)证明对任意不等式恒成立.
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已知函数:
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对于任意的,若函数在 区间上有最值,求实数的取值范围.
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已知函数
(1)若且函数在区间上存在极值,求实数的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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已知函数处的切线与轴平行.
(1)求的值和函数的单调区间;
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点,求的取值范围.
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设函数其中,曲线在点处的切线方程为
(I)确定的值;
(II)设曲线在点处的切线都过点(0,2).证明:当时,
(III)若过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,求的取值范围.
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