试题分析:(1)先由对数函数的定义求出函数的定义域,然后求出函数的导数,结合函数的单调性与导数的关系求解;(2)先写出切点处的切线的斜率,然后根据已知条件得到,则有,结合二次函数在区间上的图像与性质,可得的最小值;(3)根据已知条件构造函数,将方程的实根的情况转化为函数的零点问题.由函数单调性与导数的关系可知,在区间上单调递增,在区间上单调递减,即最大值是,分三种情况进行讨论:当,函数的图象与轴恰有两个交点;当时,函数的图象与轴恰有一个交点;当时,函数的图象与轴无交点.由方程的根与函数零点的关系得解. 试题解析:(1),定义域为, 则, ∵, 由得,;由得,. ∴函数的单调增区间是,单调减区间是. 2分 (2)由题意,以为切点的切线的斜率满足: , 所以对恒成立. 又当时,, 所以的最小值为. 7分. (3)由题意,方程化简得: . 令,则. 当时,;当时,. 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减. 所以在处取得极大值即最大值,最大值为. 所以当,即时,的图象与轴恰有两个交点, 方程有两个实根; 当时,的图象与轴恰有一个交点, 方程有一个实根; 当时,的图象与轴无交点, 方程无实根. 12分 |