试题分析:(Ⅰ)利用导数的符号确定函数的单调区间。函数含有参数,故需要分情况讨论. (Ⅱ)思路一、一般地若任意使得,则;若任意使得,则.由得:恒成立,所以小于等于的最小值. 思路二、除外,是的一个极值点,故可首先考虑这个特殊值.由得: ,这样只需考虑时在内是否恒成立.这是本题的特点,需要仔细观察、分析.若发现其特点,则运算大大简化.所以这个题有较好的区分度. (Ⅲ)涉及数列求和的不等式的证明,一般有两种类型,一种是先求和,后放缩;一种先放缩,后求和. 本题显然属于后者. 解答题中的最后一问,往往要用前面的结论,本题也不例外.由(Ⅱ)取可得:,由此可将不等式左边各项放缩. 但是如果第一项也用这个结论来放缩,则得不到右边的式子.这时就考虑从第二项开始,或从第三项开始用这个结论. 试题解析:(Ⅰ) 当时,在单调递减,在上单调递增; 当时,在单调递减,在,上单调递增; 当时,在上单调递增; 当时,在单调递减, 在,上单调递增. (Ⅱ)法一、由得: 令,则 令,则即 所以由得 所以在内单调递减,在内单调递增.所以 从而 法二、由得: 又时, 在单调递减,在上单调递增 所以即: 所以若在内恒成立,实数的取值范围为. (Ⅲ)由(Ⅱ)知: 又时, 即(时取等号) 所以当时: 又,所以 . |