试题分析:(1)先假设点 的坐标,根据图象对称的定义列式求出点 的坐标即可;(2)利用(1)中条件 的条件,并注意到定义 中第 项与倒数第 项的和 这一条件,并利用倒序相加法即可求出 的表达式,进而可以求出 的值;(3)先利用 和 之间的关系求出数列 的通项公式,然后在不等式 中将 与含 的代数式进行分离,转化为 恒成立的问题进行处理,最终利用导数或作差(商)法,通过利用数列 的单调性求出 的最小值,最终求出实数 的取值范围. 试题解析:(1)假设存在点 ,使得函数 的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数 的图像上,则函数 图像的对称中心为 . 由 ,得 , 即 对 恒成立,所以 解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018045831-71140.png) 所以存在点 ,使得函数 的图像上任意一点 关于点M对称的点 也在函数 的图像上. (2)由(1)得 . 令 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018045833-10727.png) . 因为 ①, 所以 ②, 由①+②得 ,所以 . 所以 . (3)由(2)得 ,所以 . 因为当 且 时, . 所以当 且 时,不等式 恒成立 . 设 ,则 . 当 时, , 在 上单调递减; 当 时, , 在 上单调递增. 因为 ,所以 , 所以当 且 时, . 由 ,得 ,解得 . 所以实数 的取值范围是 . |