试题分析:(1)由求导判的函数在上单调递增,可求函数的最小值;(2)因存在单调递减区间,所以有正数解,再分类讨论对类一元二次函数存在正解进行讨论.(3)利用数学归纳法进行证明即可. 试题解析:(1),定义域为. , 在上是增函数. . (2) 因为 因为若存在单调递减区间,所以有正数解. 即有的解 ① 当时,明显成立 . ②当时,开口向下的抛物线,总有的解; ③当时,开口向上的抛物线, 即方程有正根. 因为, 所以方程有两正根. 当时,; ……… 4分 ,解得. 综合①②③知:. ……… 9分 (3)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当时,,即. 令,则有, . , . ……… 15分 (法二)当时,. ,,即时命题成立. 设当时,命题成立,即. 时,. 根据(Ⅰ)的结论,当时,,即. 令,则有, 则有,即时命题也成立. 因此,由数学归纳法可知不等式成立. ……… 15分 |