试题分析:(1)由已知得x>0且. 当k是奇数时,,则f(x)在(0,+)上是增函数; 当k是偶数时,则. 所以当x时,,当x时,. 故当k是偶数时,f (x)在上是减函数,在上是增函数.…………4分 (2)若,则. 记 , 若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解; 令,得.因为,所以(舍去),. 当时,,在是单调递减函数; 当时,,在上是单调递增函数. 当x=x2时, ,. 因为有唯一解,所以. 则 即 设函数, 因为在x>0时,h (x)是增函数,所以h (x) = 0至多有一解. 因为h (1) = 0,所以方程(*)的解为x 2 = 1,从而解得…………10分 另解:即有唯一解,所以:,令,则,设,显然是增函数且,所以当时,当时,于是时有唯一的最小值,所以,综上:. (3)当时, 问题等价于证明 由导数可求的最小值是,当且仅当时取到, 设,则, 易得,当且仅当 时取到, 从而对一切,都有成立.故命题成立.…………16分 点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,不等式恒成立问题,是导数应用的常见问题,本题因为参数的引入,增大了讨论的难度,学生易出错。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得解。 |