试题分析:解法一:(Ⅰ)因为,所以, 函数的图象在点处的切线斜率. 由得:. 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令. 因为,,所以在至少有一个根. 又因为,所以在上递增, 所以函数在上有且只有一个零点,即方程有且只有一 个实根. 7分 (Ⅲ)证明如下: 由,,可求得曲线在点处的切 线方程为, 即. 8分 记 , 则. 11分 (1)当,即时,对一切成立, 所以在上递增. 又,所以当时,当时, 即存在点,使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线 在该点处切线的两侧. 12分 (2)当,即时, 时,;时,; 时,. 故在上单调递减,在上单调递增. 又,所以当时,;当时,, 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的 同侧. 13分 (3)当,即时, 时,;时,;时,. 故在上单调递增,在上单调递减. 又,所以当时,;当时,, 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧. 综上,存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧. 14分 解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)证明如下: 由,,可求得曲线在点处的切 线方程为, 即. 8分 记 , 则. 11分 若存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于t不是极值点, 由二次函数的性质知,当且仅当,即时, t不是极值点,即. 所以在上递增. 又,所以当时,;当时,, 即存在唯一点,使得曲线在点附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧. 14分 点评:本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想. |