已知函数在(1,2)上是增函数,在(0,1)上是减函数。求的值;当时,若在内恒成立,求实数的取值范围;求证:方程在内有唯一解.

已知函数在(1,2)上是增函数,在(0,1)上是减函数。求的值;当时,若在内恒成立,求实数的取值范围;求证:方程在内有唯一解.

题型:不详难度:来源:
已知函数在(1,2)上是增函数,在(0,1)上是减函数。
的值;
时,若内恒成立,求实数的取值范围;
求证:方程内有唯一解.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)。(Ⅲ)方程=0在内有唯一解。
解析

试题分析:(Ⅰ)对任意的恒成立,因此。同理,由对任意恒成立,因此。所以
    
(Ⅱ)时,为减函数,最小值为1.
,则.
,∴,∴上为增函数,其最大值为

,得,故
(Ⅲ)由
,则
,由,解得
,则
有最小值0,且当时,
∴方程=0在内有唯一解。
点评:典型题,在给定区间,导数非负,函数为增函数,导数非正,函数为减函数。涉及“不等式恒成立”“方程的解”等问题,往往通过构造函数,转化成求函数的最值问题,利用导数加以解决。
举一反三
,且,则下列结论必成立的是(   )
A.B.+>0 C.D.

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设函数
(1)求的单调区间;
(2)若关于的方程在区间上有唯一实根,求实数的取值范围.
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已知函数的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线垂直。
(1)求实数的值;
(2)若函数在区间上单调递增,求的取值范围.
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已知函数,其中.
(1)若对一切恒成立,求的取值范围;
(2)在函数的图像上取定两点,记直线 的斜率为,证明:存在,使成立.
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若函数
(Ⅰ)当时,求函数的单调增区间;
(Ⅱ)函数是否存在极值.
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