在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.(I)求角C的大小;(Ⅱ)若c=3,求△ABC周长
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在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.(I)求角C的大小;(Ⅱ)若c=3,求△ABC周长
题型:不详
难度:
来源:
在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos
2
A=sin
2
B+cos
2
C+sinAsinB.
(I)求角C的大小;
(Ⅱ)若c=
3
,求△ABC周长的取值范围.
答案
(I)∵cos
2
A=sin
2
B+cos
2
C+sinAsinB,
∴1-sin
2
A=sin
2
B+1-sin
2
C+sinAsinB,
∴sin
2
A+sin
2
B-sin
2
C=-sinAsinB,
∴a
2
+b
2
-c
2
=-ab,
∴
cosC=
a
2
+
b
2
-
c
2
2ab
=
-
1
2
,
又0<C<π,∴
C=
2π
3
.
(2)∵
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
,∴a=2sinA,b=2sinB,
则△ABC的周长L=a+b+c=2(sinA+sinB)+
3
=2(sinA+
sin(
π
3
-A)
)+
3
=
2sin(A+
π
3
)+
3
,
∵
0<A<
π
3
,
π
3
<A+
π
3
<
2π
3
,
∴
3
2
<sin(A+
π
3
)≤1
,即
2
3
<2sin(A+
π
3
)≤2+
3
,
∴△ABC周长的取值范围是
(2
3
,2+
3
]
.
举一反三
在△ABC中,
si
n
2
A-si
n
2
C=(
3
sinA-sinB)sinB
,则角C等于( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
题型:不详
难度:
|
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在锐角△ABC中,a=1,b=2,则边c满足的关系是( )
A.1<c<
3
B.
3
<c<
5
C.1<c<
5
D.
3
<c<3
题型:不详
难度:
|
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若△ABC的面积为
3
,a=1,C=60°,求边长c.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边.若a
2
=b
2
+c
2
+bc,
a=
3
,则△ABC的外接圆半径等于______.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知点D是BC边的中点,且
AD
•
BC
=
1
2
(
a
2
-ac)
,则角B=______.
题型:不详
难度:
|
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