已知函数定义域为（）,设．（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；（2）求证:；（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数．

题型：不详难度：来源：

已知函数定义域为（）,设．
（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
（2）求证:；
（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数．

答案

（1） 因为
由；由,
所以在上递增,在上递减
欲在上为单调函数,则           -----------------3分
（2）因为在上递增,在上递减,
所以在处取得极小值 
又,所以在上的最小值为 
从而当时,,即               -----------------6分
（3）因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程                 =0在上有解,并讨论解的个数  --------7分                  
因为,
,             --------------8分
所以 ① 当时,,
所以在上有解,且只有一解
② 当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解
③ 当时,,
所以在上有且只有一解；
④ 当时,在上也有且只有一解    ------------10分
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；
当时,有两个适合题．

解析

略