解:⑴由题意知:的解集为, 所以,-2和2为方程的根……2分 由韦达定理知,即m=1,n=0.……4分 ⑵∵,∴,∵ 当A为切点时,切线的斜率, ∴切线为, 即; ……6分 当A不为切点时,设切点为,这时切线的斜率是, 切线方程为,即 因为过点A(1,-11), ,∴, ∴或,而为A点,即另一个切点为, ∴, 切线方程为,即………………8分 所以,过点的切线为或.…9分 ⑶存在满足条件的三条切线. 设点是曲线的切点, 则在P点处的切线的方程为 即 因为其过点A(1,t),所以,, 由于有三条切线,所以方程应有3个实根, ……………11分 设,只要使曲线有3个零点即可. 因为=0,∴, 当时,在和上单增, 当时,在上单减, 所以,为极大值点,为极小值点. 所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当即, 解得 . ………14分 |