设a为正实数,函数f(x)=x3-ax2-a2x+1, x∈R.(1)求f(x)的极值;(2)设曲线y=f(x)与直线y=0至多有两个公共点,求实数a的取值范围
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设a为正实数,函数f(x)=x3-ax2-a2x+1, x∈R.(1)求f(x)的极值;(2)设曲线y=f(x)与直线y=0至多有两个公共点,求实数a的取值范围
题型:不详
难度:
来源:
设a为正实数,函数f(x)=x
3
-ax
2
-a
2
x+1, x∈R.
(1)求f(x)的极值;
(2)设曲线y=f(x)与直线y=0至多有两个公共点,求实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)
(极大)
=f
f(x)
(极小)
=f(a)=a
3
-a
3
-a
3
+1=1-a
3
(2)见解析(3)0<a≤1
解析
(1)f′(x)=3x
2
-2ax-a
2
……………………………………………………2分
由f′(x)=3x
2
-2ax-a
2
=0,得x
1
=-
,x
2
="a," (a>0)
x
(-,-
)
-
(-
,a)
a
(a,+ ∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大
减
极小
增
……………………………………………………………………………………5分
∴f(x)
(极大)
=f
f(x)
(极小)
=f(a)=a
3
-a
3
-a
3
+1=1-a
3
……………………………………………7分
(2)∵f(x)在(-∞,-
)上递增,在(-
,a)上递减,在(a,+ ∞)上递增,
f(x)
(极大)
=
a
3
+1>0………………………………………………………………9分
①当极小值f(a)=1-a
3
≥0,即0<a≤1时,y=f(x)与y=0在x∈(-
,+∞)上有1个或0个公共点,此时f(-1)=a(a-1) ≤0
∴y=f(x)与y="0 " 在x∈(-∞,-
)上有1个公共点
∴0<a≤1时,y=f(x)与y=0有1个或2个公共点……………………………11分
②当极小值f(a)=1-a
3
<0即a>1时,y=f(x)与y=0在x∈(-
,+∞)上有2个公共点,此时f(-a)=1-a
3
<0
∴y=f(x)与y="0" 在x∈(-∞,-
)上有1个公共点
∴a>1时,y=f(x)与y=0有3个公共点………………………………………13分
综上,0<a≤1……………………………………………………………………14分
举一反三
(本小题满分12分)
已知函数
,其中
。
(1)当
满足什么条件时,
取得极值?
(2)已知
,且
在区间
上单调递增,试用
表示出
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
设函数
(1)若函数
在
内没有极值点,求
的取值范围。
(2)若对任意的
,不等式
上恒成立,求实数
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分)设函数
(1)求函数
的单调区间;(2)求
在[—1,2]上的最小值;(3)当
时,用数学归纳法证明:
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分) 已知函数
图象上一点
处的切线方程为
.(Ⅰ)求
的值;(Ⅱ)若方程
在
内有两个不等实根,求
的取值范围(其中
为自然对数的底数);(Ⅲ)令
,若
的图象与
轴交于
,
(其中
),
的中点为
,求证:
在
处的导数
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(I)(i)求函数
的图象的交点A的坐标;
(ii)设函数
的图象在交点A处的切线分别为
是否存在这样的实数a,使得
?若存在,请求出a的值和相应的点A坐标;若不存在,请说明理由。
(II)记
上最小值为F(a),求
的最小值。
题型:不详
难度:
|
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