(本小题满分12分)已知函数,其中。(1)当满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围。

(本小题满分12分)已知函数,其中。(1)当满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围。

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
已知函数,其中
(1)当满足什么条件时,取得极值?
(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围。
答案
(1)
(2)当时,;当时,
解析
(1)由已知得,令,得
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即,此时方程的根为

所以
时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)

0

0

f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以x 1, x2处分别取得极大值和极小值;
时,   
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)

0

0

f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值。
综上,当满足时,取得极值。
(2)要使在区间上单调递增,需使上恒成立。
恒成立,所以

(舍去),
时,,当单调增函数;
,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为
所以
时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当最大,最大值为,所以
综上,当时,;当时,
举一反三
(本小题满分12分)
设函数
(1)若函数内没有极值点,求的取值范围。
(2)若对任意的,不等式上恒成立,求实数的取值范围。
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(本题满分14分)设函数(1)求函数的单调区间;(2)求在[—1,2]上的最小值;(3)当时,用数学归纳法证明:
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(本小题满分14分) 已知函数图象上一点处的切线方程为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底数);(Ⅲ)令,若的图象与轴交于(其中),的中点为,求证:处的导数
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已知函数
(I)(i)求函数的图象的交点A的坐标;
(ii)设函数的图象在交点A处的切线分别为是否存在这样的实数a,使得?若存在,请求出a的值和相应的点A坐标;若不存在,请说明理由。
(II)记上最小值为F(a),求的最小值。
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(本小题满分13分)已知函数(x>0)在x = 1处
取得极值–3–c,其中a,b,c为常数。
(1)试确定a,b的值;(6分)
(2)讨论函数f(x)的单调区间;(4分)
(3)若对任意x>0,不等式恒成立,求c的取值范围。(3分)
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