设M是由满足下列两个条件的函数构成的集合:①议程有实根;②函数的导数满足0<<1.(I)若,判断方程的根的个数;(II)判断(I)中的函数是否为集合
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设M是由满足下列两个条件的函数构成的集合:①议程有实根;②函数的导数满足0<<1.(I)若,判断方程的根的个数;(II)判断(I)中的函数是否为集合
题型:不详
难度:
来源:
设
M
是由满足下列两个条件的函数
构成的集合:
①议程
有实根;②函数
的导数
满足0<
<1.
(I)若
,判断方程
的根的个数;
(II)判断(I)中的函数
是否为集合
M
的元素;
(III)对于
M
中的任意函数
,设
x
1
是方程
的实根,求证:对于
定义域中任意的
x
2
,
x
3
,当|
x
2
-
x
1
|<1,且|
x
3
-
x
1
|<1时,有
答案
(1)唯一 (2)是
解析
(I)令
则
是单调递减函数.
又取
在其定义域上有唯一实根.
(II)由(I)知方程
有实根(或者由
,易知
x
=0就是方程的一个根),
满足条件①.
满足条件②.故
是集合
M
中的元素.
(III)不妨设
在其定义域上是增函数.
是其定义域上的减函数.
.
举一反三
(1)当a=-1时,求函数
图像上的点到直线
距离的最小值;
(2)是否存在正实数a,使
对一切正实数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)设M是由满足下列条件的函数
构成的集合:“①方程
有实数根;②函数
的导数
满足
”
(I)证明:函数
是集合M中的元素;
(II)证明:函数
具有下面的性质:对于任意
,都存在
,使得等式
成立。
(III)若集合M中的元素
具有下面的性质:若
的定义域为D,则对于任意[m,n]
,都存在
,使得等式
成立。试用这一性质证明:对集合M中的任一元素
,方程
只有一个实数根。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分15分)已知函数
且
.
(Ⅰ)试用含
式子表示
;(Ⅱ)求
的单调区间;(Ⅲ)若
,试求
在区间
上的最大值.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)已知函数
且导数
.
(Ⅰ)试用含有
的式子表示
,并求
单调区间; (II)对于函数图象上的不同两点
,如果在函数图象上存在点
(其中
)使得点
处的切线
,则称
存在“伴侣切线”.特别地,当
时,又称
存在“中值伴侣切线”.试问:在函数
上是否存在两点
、
使得它存在“中值伴侣切线”,若存在,求出
、
的坐标,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)函数
在
处取得极小值–2.(I)求
的单调区间;(II)若对任意的
,函数
的图像
与函数
的图像
至多有一个交点.求实数
的范围.
题型:不详
难度:
|
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