已知曲线C: , 过点Q作C的切线, 切点为P.(1) 求证：不论怎样变化, 点P总在一条定直线上;(2) 若, 过点P且与垂直的直线与轴交于点T, 求的最小值

题型：不详难度：来源：

已知曲线C: , 过点Q作C的切线, 切点为P.
(1) 求证：不论怎样变化, 点P总在一条定直线上;
(2) 若, 过点P且与垂直的直线与轴交于点T, 求的最小值(O为原点).

答案

(2)

解析

(1)设Ｐ点坐标为,则由则以Ｐ点为切点的
切线斜率为若则不符合题意.
∵切线过点, ∴斜率为．
∴, ∴, ∴切点Ｐ总在直线上.
(2) 解法一: ∵l的斜率为，∴ＰＴ的斜率为，
∴ＰＴ的方程为.
令,得ＰＴ与x轴交点的横坐标为.
在(1)中, , 又∴. ∴
∴
(当且仅当, 即时等号成立).　∴的最小值为.
解法二：直线l的斜率为, 则垂线斜率为，
垂线方程为.
令, 解得与x轴的交点T的横坐标为

当且仅当3，即时, 等号成立.∴的最小值为.