已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）=ax，且f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=103

题型：不详难度：来源：

已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）=a^x，且f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

10

3

，若有穷数列{f（n）g（n）}（n∈N^*）的前n项和等于

40

81

，则n等于______．

答案

由（f（x）g（x））′=f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，
即a^xlna＜0，故0＜a＜1．
由f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

10

3

，
得a+

1

a

=

10

3

，解得a=

1

3

，
∴有穷数列{f（n）g（n）}（n∈N^*）是等比数列，其前n项和S_n=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

40

81

，
得n=4．
故答案为：4．