已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)=ax,且f′(x)g(x)+f(x)•g′(x)<0,f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=103

已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)=ax,且f′(x)g(x)+f(x)•g′(x)<0,f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=103

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已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)=ax,且f′(x)g(x)+f(x)•g′(x)<0,f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=
10
3
,若有穷数列{f(n)g(n)}(n∈N*)的前n项和等于
40
81
,则n等于______.
答案
由(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)•g′(x)<0,
即axlna<0,故0<a<1.
由f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=
10
3

得a+
1
a
=
10
3
,解得a=
1
3

∴有穷数列{f(n)g(n)}(n∈N*)是等比数列,其前n项和Sn=
1
3
(1-(
1
3
)
n
)
1-
1
3
=
40
81

得n=4.
故答案为:4.
举一反三
已知函数f(x)=lnx+tanα(α∈(0,
π
2
))的导函数为f′(x),若使得f′(x0)=f(x0)立的x0<1,则实数α的取值范围为(  )
A.(
π
4
π
2
B.(0,
π
3
C.(
π
6
π
4
D.(0,
π
4
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设函数f(x)=
1
2
(sinx-cosx)的导函数为f′(x),则下列结论正确的是(  )
A.f′(x)+f(x)=-sinxB.f′(x)+f(x)=-cosx
C.f′(x)-f(x)=sinxD.f′(x)-f(x)=cosx
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若f′(x)=2ex+xex(其中e为自然对数的底数),则f(x)可以是(  )
A.xex+xB.(x+1)ex+1C.xexD.(x+1)ex+x
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已知函数f(x)=
(x+1)2+sinx
x2+1
,其导函数记为f′(x),则f(2012)+f′(2012)+f(-2012)-f′(-2012)=______.
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已知函数f(x)=sinx-cosx且f′(x)是f(x)的导函数,若f′(α)=2f(α),则tan2α=______.
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