已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1,其导函数记为f′(x),则f(2012)+f′(2012)+f(-2012)-f′(-2012)=______
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已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1,其导函数记为f′(x),则f(2012)+f′(2012)+f(-2012)-f′(-2012)=______
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
(x+1)
2
+sinx
x
2
+1
,其导函数记为f′(x),则f(2012)+f′(2012)+f(-2012)-f′(-2012)=______.
答案
由题意可得函数
f(x)=
(x+1)
2
+sinx
x
2
+1
=
x
2
+1+2x+sinx
x
2
+1
=
1+
2x+sinx
x
2
+1
,
故其导函数f′(x)=
(2+cosx)(
x
2
+1)-(2x+sinx)(2x)
(
x
2
+1
)
2
,
易证f′(-x)=f′(x),故导函数f′(x)为偶函数,所以f"(2012)=f"(-2012);
记函数
h(x)=
2x+sinx
x
2
+1
,显然有h(-x)=-h(x),即h(x)为奇函数,
可得h(-2012)=-h(2012),即h(2012)+h(-2012)=0,
故f(2012)+f"(2012)+f(-2012)-f"(-2012)=f(2012)+f(-2012)
=1+h(2012)+1+h(-2012)=2+h(2012)+h(-2012)=2,
故答案为:2
举一反三
已知函数f(x)=sinx-cosx且f′(x)是f(x)的导函数,若f′(α)=2f(α),则tan2α=______.
题型:不详
难度:
|
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求下列函数的导数
(2
x
)′=______,(xlnx)′=______,(tanx)′=______.
题型:不详
难度:
|
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设f
0
(x)=cosx,f
1
(x)=f
0
′(x),…,f
n+1
(x)=f
n
′(x),x∈N,则f
2011
(x)=( )
A.cosx
B.-cosx
C.sinx
D.-sinx
题型:不详
难度:
|
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若连续且不恒等于的零的函数f(x)满足f′(x)=3x
2
-x(x∈R),试写出一个符合题意的函数f(x)=______
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)的导函数是f′(x),若对任意的x∈R,都有f(x)+2f′(x)<0成立,则( )
A.
f(2ln2)
3
<
f(2ln3)
2
B.
f(2ln2)
3
>
f(2ln3)
2
C.
f(2ln2)
3
=
f(2ln3)
2
D.无法比较
题型:不详
难度:
|
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