已知函数f(x)=sinx+cosx且f(x)=2f′(x),f′(x)是f(x)的导函数,则1+sin2xcos2x-sinxcosx=______.

已知函数f(x)=sinx+cosx且f(x)=2f′(x),f′(x)是f(x)的导函数,则1+sin2xcos2x-sinxcosx=______.

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已知函数f(x)=sinx+cosx且f(x)=2f′(x),f′(x)是f(x)的导函数,则
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
=______.
答案
∵函数f(x)=sinx+cosx且f(x)=2f′(x),f′(x)=cosx-sinx,
∴sinx+cosx=2(cosx-sinx ),
∴3sinx=cosx,sin2x+cos2x=1=10sin2x.
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
=
10sin2x+sin2x
9sin2x-3sin2x
=
11
6

故答案为
11
6
举一反三
已知定义在R上的连续函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=-
1
2
x+2
,则f(1)+f′(1)=______.
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定义在R上的偶函数f(x)满足xf′(x)<0,又a=f(log
1
3
2)
,b=f(ln2),c=f(5
1
2
)
,则(  )
A.a>b>cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c
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已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)=ax,且f′(x)g(x)+f(x)•g′(x)<0,f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=
10
3
,若有穷数列{f(n)g(n)}(n∈N*)的前n项和等于
40
81
,则n等于______.
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已知函数f(x)=lnx+tanα(α∈(0,
π
2
))的导函数为f′(x),若使得f′(x0)=f(x0)立的x0<1,则实数α的取值范围为(  )
A.(
π
4
π
2
B.(0,
π
3
C.(
π
6
π
4
D.(0,
π
4
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设函数f(x)=
1
2
(sinx-cosx)的导函数为f′(x),则下列结论正确的是(  )
A.f′(x)+f(x)=-sinxB.f′(x)+f(x)=-cosx
C.f′(x)-f(x)=sinxD.f′(x)-f(x)=cosx
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