已知曲线y=16x2-1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．

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已知曲线y=

x²-1与y=1+x³在x=x₀处的切线互相垂直，求x₀的值．

答案

对于y=

x²-1，有y′=

x，k₁=y′|_x=x0=

x₀；
对于y=1+x³，有y′=3x²，k₂=y′|_x=x0=3x₀²．
又k₁k₂=-1，则x₀³=-1，
故x₀=-1．

举一反三

已知a＞0，n为正整数．
（Ⅰ）设y=（x-a）ⁿ，证明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，对任意n≥a，证明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

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已知函数f(x)=

ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，设x₀为f（x）的极小值点，x₁为g（x）的极值点，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，将点（x₀，f（x₀）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次记为A，B，C，D．
（1）求x₀的值；
（2）若四边形APCD为梯形且面积为1，求a，d的值．

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已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=-x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
（Ⅰ）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

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已知函数f（x）在R上满足f（x）=2•f（2-x）-x²+8x-8，则f′（2）=______．

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已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf"（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

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