必做题当n≥1，n∈N*时，（1）求证：Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+（n-1）Cnn-1xn-2=n（1+x）n-1；（2）求和：12Cn1+22Cn
题型：江苏二模难度：来源：
必做题
当n≥1，n∈N*时，
（1）求证：Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+（n-1）Cnn-1xn-2=n（1+x）n-1；
（2）求和：12Cn1+22Cn2+32Cn3+…+（n-1）2Cnn-1+n2Cnn． |
答案
证明：（1）设f（x）=（1+x）n=Cn°+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+…+Cnnxn…①，
①式两边求导得：n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1，…②
（2）②的两边同乘x得：nx（1+x）n-1=Cn1x2Cn2x2+3Cn3x3+…+（n-1）Cnn-1xn-1+nCnnxn，…③，
③式两边求导得：n（1+x）n-1+n（n-1）x（1+x）n-2=Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+（n-1）2Cnn-1xn-2+n2Cnnxn-1，…④，
④中令x=1得，Cn1+22Cn2+32Cn3+…+（n-1）2Cnn-1+n2Cnn=n2n-1+n（n-1）2n-2=2n-2•n（n+1）． |
举一反三
| 已知函数f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是2x-3y+1=0，则f（1）+f′（1）=______． |
已知f（x）=logax（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=f（a+1）-f（a），C=f′（a+1）则（ ）| A．A＞B＞C | B．A＞C＞B | C．B＞A＞C | D．C＞B＞A |
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若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（ ）| A．3f（1）＞f（3） | B．3f（1）＜f（3） | C．3f（1）=f（3） | D．f（1）=f（3） |
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设函数f0(x)=x2•e-x，记f0（x）的导函数f"0（x）=f1（x），f1（x）的导函数f"1（x）=f2（x），f2（x）的导函数f"2（x）=f3（x），…，fn-1（x）的导函数f"n-1（x）=fn（x），n=1，2，…．
（1）求f3（0）；
（2）用n表示fn（0）；
（3）设Sn=f2（0）+f3（0）+…+fn+1（0），是否存在n∈N*使Sn最大？证明你的结论． |
已知函数f（x）=x2sinθ+xcosθ，其中θ∈R，那么g（θ）=f′（1）的取值范围是（ ）| A．[-1，1] | B．[-2，2] | C．[-，] | D．[-，] |
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