若函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(
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若函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(
题型:不详
难度:
来源:
若函数
f(x)=
1
3
x
3
-
a+1
2
x
2
+bx+a
(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x<0使得f′(x)=-9,求实数a的最大值.
答案
f(x)=
1
3
x
3
-
a+1
2
x
2
+bx+a
,求导数,可得f′(x)=x
2
-(a+1)x+b,…(1分)
由f′(0)=0得b=0,f′(x)=x(x-a-1).…(3分)
(Ⅰ)当a=1时,
f(x)=
1
3
x
3
-
x
2
+1
,f′(x)=x(x-2),
∴f(3)=1,f′(3)=3.…(5分)
∴函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),…(6分)
即3x-y-8=0.…(7分)
(Ⅱ)∵存在,使x<0得f′(x)=x(x-a-1)=-9,
∴
-a-1=-x-
9
x
=(-x)+(-
9
x
)≥2
(-x)×(-
9
x
)=6
,
∴a≤-7,…(10分)
当且仅当x=-3时,a=-7. …(12分)
∴a的最大值为-7. …(14分)
举一反三
函数
y=
1
2
(
e
x
+
e
-x
)
的导数是( )
A.
1
2
(
e
x
-
e
-x
)
B.
1
2
(
e
x
+
e
-x
)
C.e
x
-e
-x
D.e
x
+e
-x
题型:不详
难度:
|
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(1)求函数
y=
x+3
x
2
+3
的导数
(2)已知
f(x)=
x
3
+4cosx-sin
π
2
,求f"(x)及
f′(
π
2
)
.
题型:不详
难度:
|
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已知f
1
(x)=sinx+cosx,记f
2
(x)=f′
1
(x),f
3
(x)=f′
2
(x),…,f
n
(x)=f′
n-1
(x),( n∈N
*
,n≥2).则f
1
(
π
4
)+f
2
(
π
4
)+…+f
2010
(
π
4
)=______.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=(3x-5)
2
的导数是( )
A.2(3x-5)
B.6x
C.6x(3x-5)
D.6(3x-5)
题型:不详
难度:
|
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若f(x)=
e
1
x
,则
lim
t→0
f(1-2t)-f(1)
t
=______.
题型:不详
难度:
|
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