已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1(I)求曲线在(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;(Ⅲ)证明:(x-1
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已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1 (I)求曲线在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅲ)证明:(x-1)f(x)≥0. |
答案
(I)f′(x)=+lnx-1=+lnx 所以f′(1)=1,所以切线方程y=x-1 (Ⅱ)xf′(x)≤x2+ax+1⇔1+xlnx≤x2+ax+1, 即:xlnx≤x2+ax,x>0,则有lnx≤x+a, 即要使a≥lnx-x成立. 令g(x)=lnx-x,那么g′(X)=-1=0⇒x=1, 可知当0<x<1时单调增,当x>1时单调减. 故g(x)=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1, 那么要使得a≥lnx-x 成立,则有a≥-1. (Ⅲ)由(Ⅱ)可得:lnx-x≤-1,即lnx-x+1≤0 当0<x<1 时,f(x)=xlnx+lnx-x+1<0, 当x≥1时,f(x)=xlnx+lnx-x+1 =lnx+(xlnx-x+1) =lnx+x(lnx+-1) =lnx-x(ln-+1) ≥0. ∴f(x)=xlnx+lnx-x+1=lnx+(xlnx-x+1)≥0 综上所述,(x-1)f(x)≥0 |
举一反三
设f(x)=sinx+cosx,那么( )A.f′(x)=cosx-sinx | B.f′(x)=cosx+sinx | C.f′(x)=-cosx+sinx | D.f′(x)=-cosx-sinx |
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已知函数f(x)=(x+2)ex,则f′(0)=______. |
已知点P是曲线y=x3+2x+1上的一点,过点P与此曲线的相切的直线l平行于直线y=2x-3,则切线l的方程是( )A.y=-x+1 | B.y=2x+1 | C.y=2x | D.y=2x+1或y=2x |
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已知函数f(x)=lnx-ax2+bx(a>0)且f′(1)=0. (Ⅰ)试用含a式子表示b; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)若a=2,试求f(x)在区间[c,c+](c>0)上的最大值. |
设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn"(x),n∈N*,则f2011(x)=______. |
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