已知函数f(x)=4exex+1(e为自然对数的底数)设方程f(x)=x的一个根为t,且a>t,f(a)=b.(1)求函数f(x)的导函数f′(x);求导函数f

已知函数f(x)=4exex+1(e为自然对数的底数)设方程f(x)=x的一个根为t,且a>t,f(a)=b.(1)求函数f(x)的导函数f′(x);求导函数f

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
4ex
ex+1
(e为自然对数的底数)设方程f(x)=x的一个根为t,且a>t,f(a)=b.
(1)求函数f(x)的导函数f′(x);求导函数f′(x)的值域;
(2)证明:①a>b,②a+f(a)>b+f(b).
答案
(1)f′(x)=
4ex
(ex+1)2
=
4
ex+
1
ex
+2
≤1,导函数f′(x)的值域(0,1],
(2)设g(x)=f(x)-x,则g′(x)=f′(x)-1≤0,所以g(x)在R上是减函数,
∵a>t,方程f(x)=x的一个根为t,即g(t)=0,
∴g(a)<g(t)=0,而g(a)=f(a)-a
∴f(a)-a<0,f(a)<a,f(a)=b,即a>b;
设h(x)=f(x)+x,则h′(x)=f′(x)+1≥0,
∴h(x)在R上是增函数,又a>b,
∴h(a)>h(b),
即a+f(a)>b+f(b).
举一反三
设f(x)在点x=x0处可导,且
f(xo+7△x)-f(xo)
△x
→1(△x→0)
,则f′(xo)=(  )
A.1B.0C.7D.
1
7
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函数f(x)=
sinx
x
的导数是(  )
A.
xsinx+cosx
x2
B.
xcosx+sinx
x2
C.
xsinx-cosx
x2
D.
xcosx-sinx
x2
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于零的可导函数,且满足f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,则当a<x<b时有(  )
A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(b)>f(b)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
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下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)
①若f(x)可导且f"(x0)=0,则x0是f(x)的极值点;
②函数f(x)=xe-x,x∈[2,4]的最大值为2e-2
③已知函数f(x)=


-x2+2x
,则_1f(x)dx的值为
π
4

④一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的路程为
4
3
(m)
题型:不详难度:| 查看答案
f(x)=2x2-2f′(1)x,求f′(1)=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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