设函数f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行．（1）求f"（x）；   （2）求f（x）的解析式．

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=ax+

1

x+b

（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行．
（1）求f"（x）；   
（2）求f（x）的解析式．

答案

（1）∵f（x）=ax+

1

x+b

（a，b∈Z），
∴f′（x）=（ax）′+（

1

x+b

）′
=a-

1

(x+b)2

×（x+b）′
=a-

1

(x+b)2

（2）∵曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行．
∴f（2）=1，f′（2）=0
∴

2a+ 1 2+b =1 a- 1 (2+b)2 =0

解得

a=1 b=-3

或

a= 1 4 b=0

∵a，b∈Z，
∴

a=1 b=-3

故   f(x)=x+

1

x-3

．