设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a、b、c是两两不等的常数),则af′(a)+bf′(b)+cf′(c)=______
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设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a、b、c是两两不等的常数),则af′(a)+bf′(b)+cf′(c)=______
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设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a、b、c是两两不等的常数),则
a
f′(a)
+
b
f′(b)
+
c
f′(c)
=______
答案
∵f(x)=x
3
-(a+b+c)x
2
+(ab+bc+ca)x-abc,
∴f′(x)=3x
2
-2(a+b+c)x+ab+bc+ca.
又f′(a)=(a-b)(a-c),
同理f′(b)=(b-a)(b-c),
f′(c)=(c-a)(c-b).
∴
a
f′(a)
+
b
f′(b)
+
c
f′(c)
=0.
举一反三
已知f"(x)是f(x)的导数,记f
(1)
(x)=f"(x),f
(n)
(x)=(f
(n-1)
(x))"(n∈N,n≥2),给出下列四个结论:
①若f(x)=x
n
,则f
(5)
(1)=120;
②若f(x)=cosx,则f
(4)
(x)=f(x);
③若f(x)=e
x
,则f
(n)
(x)=f(x)(n∈N
+
);
④设f(x)、g(x)、f
(n)
(x)和g
(n)
(x)(n∈N
+
)都是相同定义域上的可导函数,h(x)=f(x)•g(x),则h
(n)
(x)=f
(n)
(x)•g
(n)
(x)(n∈N
+
).
则结论正确的是______(多填、少填、错填均得零分).
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请先阅读:
设可导函数 f(x) 满足f(-x)=-f(x)(x∈R).
在等式f(-x)=-f(x) 的两边对x求导,
得(f(-x))′=(-f(x))′,
由求导法则,得f′(-x)•(-1)=-f′(x),
化简得等式f′(-x)=f′(x).
(Ⅰ)利用上述想法(或其他方法),结合等式
(1+x
)
n
=
C
0n
+
C
1n
x+
C
2n
x
2
+…+
C
nn
x
n
(x∈R,整数n≥2),证明:
n[(1+x
)
n-1
-1]=2
C
2n
x+3
C
3n
x
2
+4
C
4n
x
3
+…+n
C
nn
x
n-1
;
(Ⅱ)当整数n≥3时,求
C
1n
-2
C
2n
+3
C
3n
-…+(-1
)
n-1
n
C
nn
的值;
(Ⅲ)当整数n≥3时,证明:
2
C
2n
-3•2
C
3n
+4•3
C
4n
+…+(-1
)
n-2
n(n-1)
C
nn
=0
.
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已知f(x)=e
x
,f(x)的导数为f"(x),则f"(-2)=( )
A.2e
B.-2e
C.e
-2
D.-2e
-2
题型:不详
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函数y=f(x)的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+6,则f(5)+f"(5)=______.
题型:不详
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已知函数f(x)=2ln3x+8x,则
lim
△x→0
f(1-2△x)-f(1)
△x
的值为( )
A.-20
B.-10
C.10
D.20
题型:不详
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